Algebra Beispiele

$f (x) = - 5 x^{2} - 20 x - 10$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 5 x^{2} - 20 x - 10$ als Gleichung.

$y = - 5 x^{2} - 20 x - 10$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 5 x^{2} - 20 x - 10$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 5$

$b = - 20$

$c = - 10$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 5}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 5}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 5$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 5)}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 5}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 10}{- 5}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $- 5$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{- 5 (2)}{- 5}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5$ heraus.

$d = \frac{- 5 \cdot 2}{- 5 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 5 \cdot 2}{- 5 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 2.1.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 10 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$e = - 10 - \frac{400}{4 \cdot - 5}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$e = - 10 - \frac{400}{- 20}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Dividiere $400$ durch $- 20$ .

$e = - 10 - - 20$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$e = - 10 + 20$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $- 10$ und $20$ .

$e = 10$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 5 {(x + 2)}^{2} + 10$ ein.

$- 5 {(x + 2)}^{2} + 10$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 5 {(x + 2)}^{2} + 10$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 5$

$h = - 2$

$k = 10$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 10)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 5}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{1}{- 20}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{20}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, \frac{199}{20})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 9