Algebra Beispiele

$5$ , $- \frac{19}{4}$

Schritt 1

$x = 5$ und $x = - \frac{19}{4}$ sind die beiden voneinander verschiedenen reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, was bedeutet, dass $x - 5$ und $x + \frac{19}{4}$ die Faktoren der quadratischen Gleichung sind.

$(x - 5) (x + \frac{19}{4}) = 0$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 5) (x + \frac{19}{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + \frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 19}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Schritt 3.1.3

Bringe $19$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + \frac{19 \cdot x}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- 5 (\frac{19}{4})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 5 \cdot 19}{4} = 0$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $19$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.2

Um $- 5 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x \cdot \frac{4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 5 x$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} + \frac{- 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.5

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $20 x$ von $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 95 = - 380$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - (x) - 95}{4} = 0$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe $- 1$ um als $19$ plus $- 20$

$\frac{4 x^{2} + (19 - 20) x - 95}{4} = 0$

Schritt 4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Schritt 4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(4 x^{2} + 19 x) - 20 x - 95}{4} = 0$

Schritt 4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (4 x + 19) - 5 (4 x + 19)}{4} = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 19$ .

$\frac{(4 x + 19) (x - 5)}{4} = 0$

Schritt 5

Multipliziere $(4 x + 19) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (x - 5) + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $19$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x - 95}{4} = 0$

Schritt 6.2

Addiere $- 20 x$ und $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{4 x^{2} - x - 95}{4}$ in zwei Brüche.

$\frac{4 x^{2} - x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{4 x^{2} - x}{4}$ in zwei Brüche.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Schritt 12

Die Normalform der quadratischen Gleichung basierend auf der gegebenen Lösungsmenge ${5, - \frac{19}{4}}$ ist $y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$ .

$y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$

Schritt 13