Algebra Beispiele

$f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 6$ als Gleichung.

$y = - 3 x^{2} + 12 x - 6$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 3 x^{2} + 12 x - 6$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 6$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 3$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{- 3}$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 3$ .

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$e = - 6 - \frac{144}{- 12}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 12$ .

$e = - 6 - - 12$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$e = - 6 + 12$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $- 6$ und $12$ .

$e = 6$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 3 {(x - 2)}^{2} + 6$ ein.

$- 3 {(x - 2)}^{2} + 6$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 6$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 3$

$h = 2$

$k = 6$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 6)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{12}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{71}{12})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 9