Algebra Beispiele

$\frac{2 x}{5 x^{2} - 37 x + 14} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 14 = 70$ und deren Summe gleich $b = - 37$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 37$ aus $- 37 x$ heraus.

$\frac{2 x}{5 x^{2} - 37 (x) + 14} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 37$ um als $- 2$ plus $- 35$

$\frac{2 x}{5 x^{2} + (- 2 - 35) x + 14} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{5 x^{2} - 2 x - 35 x + 14} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 x}{(5 x^{2} - 2 x) - 35 x + 14} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x}{x (5 x - 2) - 7 (5 x - 2)} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 2$ .

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 x - 14}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 14 = - 70$ und deren Summe gleich $b = - 33$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 33$ aus $- 33 x$ heraus.

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{5 x^{2} - 33 (x) - 14}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 33$ um als $2$ plus $- 35$

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{5 x^{2} + (2 - 35) x - 14}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{5 x^{2} + 2 x - 35 x - 14}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{(5 x^{2} + 2 x) - 35 x - 14}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{x (5 x + 2) - 7 (5 x + 2)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 2$ .

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} \cdot \frac{5 x + 2}{5 x + 2} - \frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)}$

Schritt 3

Um $- \frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)} \cdot \frac{5 x + 2}{5 x + 2} - \frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)} \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(5 x - 2) (x - 7) (5 x + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{(5 x - 2) (x - 7)}$ mit $\frac{5 x + 2}{5 x + 2}$ .

$\frac{2 x (5 x + 2)}{(5 x - 2) (x - 7) (5 x + 2)} - \frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)} \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{(5 x + 2) (x - 7)}$ mit $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$\frac{2 x (5 x + 2)}{(5 x - 2) (x - 7) (5 x + 2)} - \frac{3 x (5 x - 2)}{(5 x + 2) (x - 7) (5 x - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(5 x - 2) (x - 7) (5 x + 2)$ um.

$\frac{2 x (5 x + 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x (5 x - 2)}{(5 x + 2) (x - 7) (5 x - 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(5 x + 2) (x - 7) (5 x - 2)$ um.

$\frac{2 x (5 x + 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)} - \frac{3 x (5 x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (5 x + 2) - 3 x (5 x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (5 x + 2) - 3 x (5 x - 2)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (5 x + 2)$ heraus.

$\frac{x (2 (5 x + 2)) - 3 x (5 x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x (5 x - 2)$ heraus.

$\frac{x (2 (5 x + 2)) + x (- 3 (5 x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 (5 x + 2)) + x (- 3 (5 x - 2))$ heraus.

$\frac{x (2 (5 x + 2) - 3 (5 x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 (5 x) + 2 \cdot 2 - 3 (5 x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x (10 x + 2 \cdot 2 - 3 (5 x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x (10 x + 4 - 3 (5 x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (10 x + 4 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{x (10 x + 4 - 15 x - 3 \cdot - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{x (10 x + 4 - 15 x + 6)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.8

Subtrahiere $15 x$ von $10 x$ .

$\frac{x (- 5 x + 4 + 6)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.9

Addiere $4$ und $6$ .

$\frac{x (- 5 x + 10)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.10

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x + 10$ heraus.

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Schritt 6.10.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{x (5 (- x) + 10)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{x (5 (- x) + 5 (2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 6.10.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (- x) + 5 (2)$ heraus.

$\frac{x (5 (- x + 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

$\frac{x \cdot 5 (- x + 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 \cdot x (- x + 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{5 x (- (x) + 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{5 x (- (x) - 1 (- 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{5 x (- (x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{5 x (- 1 (x - 2))}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5 x) (x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$

Schritt 7.5.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(5 x) (x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$ um.

$- \frac{5 x (x - 2)}{(5 x + 2) (5 x - 2) (x - 7)}$