Algebra Beispiele

$y = 3 x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $3 x^{2} - 5 x + 6$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 3$

$b = - 5$

$c = 6$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$d = \frac{- 5}{6}$

Schritt 1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{6}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 6 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 6 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$e = 6 - \frac{25}{12}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$e = 6 \cdot \frac{12}{12} - \frac{25}{12}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{12}{12}$ .

$e = \frac{6 \cdot 12}{12} - \frac{25}{12}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{6 \cdot 12 - 25}{12}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$e = \frac{72 - 25}{12}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $25$ von $72$ .

$e = \frac{47}{12}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $3 {(x - \frac{5}{6})}^{2} + \frac{47}{12}$ ein.

$3 {(x - \frac{5}{6})}^{2} + \frac{47}{12}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 3 {(x - \frac{5}{6})}^{2} + \frac{47}{12}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 3$

$h = \frac{5}{6}$

$k = \frac{47}{12}$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{5}{6}, \frac{47}{12})$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{12}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{5}{6}, 4)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{5}{6}$

Schritt 8