Algebra Beispiele

$x^{2} - 5 x = - \frac{9}{4}$

Schritt 1

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 2

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 5 x + {(- \frac{5}{2})}^{2} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{5^{2}}{2^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{2^{2}} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- \frac{9}{4} + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + \frac{25}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = - \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{- 9 + 25}{4}$

Schritt 3.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Addiere $- 9$ und $25$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{16}{4}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 4$

Schritt 4

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} = 4$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{5}{2} = \pm 2$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{5}{2} = 2$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 \cdot 2 + 5}{2}$

Schritt 5.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 + 5}{2}$

Schritt 5.3.2.5.2

Addiere $4$ und $5$ .

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 5.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{5}{2} = - 2$

Schritt 5.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $\frac{5}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 \cdot 2 + 5}{2}$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 + 5}{2}$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $- 4$ und $5$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{9}{2}, \frac{1}{2}$