Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$

Schritt 1

Setze $3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$ gleich $0$ .

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 18$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$3 (x^{3}) + 12 x^{2} + 3 x - 18 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 x - 18 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 (x) - 18 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3}) + 3 (4 x^{2})$ heraus.

$3 (x^{3} + 4 x^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} + 4 x^{2}) + 3 x$ heraus.

$3 (x^{3} + 4 x^{2} + x) + 3 \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{3} + 4 x^{2} + x) + 3 \cdot - 6$ heraus.

$3 (x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 2.1.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 2.1.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 2.1.2.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Schritt 2.1.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

Schritt 2.1.2.3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$5 + 1 - 6$

Schritt 2.1.2.3.6

Addiere $5$ und $1$ .

$6 - 6$

Schritt 2.1.2.3.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 2.1.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Schritt 2.1.2.5

Dividiere $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ durch $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Schritt 2.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 2.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 2.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Schritt 2.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Schritt 2.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 2.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$3 ((x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 1) ((x + 2) (x + 3))) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 ((x - 1) (x + 2) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 1) (x + 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 1) (x + 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2, - 3$

Schritt 3