Algebra Beispiele

$x^{2} - 2 x \leq 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 2 x - 1 \leq 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1 - \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

$x > 1 + \sqrt{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1 - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1 - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 \leq 1$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 \leq 1$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(5)}^{2} - 2 \cdot 5 \leq 1$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1 - \sqrt{2}$ Falsch

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 1 + \sqrt{2}$ Falsch

$x < 1 - \sqrt{2}$ Falsch

$1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 1 + \sqrt{2}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$

Schritt 13