Algebra Beispiele

$x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 2 x^{3} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} - 18 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 18 x$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 9 + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (9)$ heraus.

$- 2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Schritt 1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $u^{2} + 14 u + 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $45$ und deren Summe $14$ ist.

$5, 9$

Schritt 1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 x (x^{2} + 9) + (u + 5) (u + 9) = 0$

Schritt 1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $- 2 x (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5) = 0$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (- 2 x + x^{2} + 5) = 0$

Schritt 1.8

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 2 x + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $20$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3 i, - 3 i, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Schritt 6