Algebra Beispiele

$f (x) = 5^{x - 5} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 5^{x - 5} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x - 5} - 1 = 0$ um.

$5^{x - 5} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x - 5} = 1$

Schritt 1.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x - 5}) = \ln (1)$

Schritt 1.2.4

Zerlege $\ln (5^{x - 5})$ durch Herausziehen von $x - 5$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 5 \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (5) - 5 \ln (5) = 0$

Schritt 1.2.7

Addiere $5 \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) = 5 \ln (5)$

Schritt 1.2.8

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 5 \ln (5)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = 5 \ln (5)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 1.2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 1.2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 1.2.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 1.2.8.3.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$x = 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 5^{(0) - 5} - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache $5^{(0) - 5} - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$y = 5^{- 5} - 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{5^{5}} - 1$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{1}{3125} - 1$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3125}{3125}$ .

$y = \frac{1}{3125} - 1 \cdot \frac{3125}{3125}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3125}{3125}$ .

$y = \frac{1}{3125} + \frac{- 1 \cdot 3125}{3125}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3125}{3125}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3125$ .

$y = \frac{1 - 3125}{3125}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $3125$ von $1$ .

$y = \frac{- 3124}{3125}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3124}{3125}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3124}{3125})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3124}{3125})$

Schritt 4