Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} + 11 x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 x^{2} + 11 x + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 11 x + 5 = 0$ um.

$3 x^{2} + 11 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 11$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $60$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $60$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{61}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{61})}{6}$

Schritt 1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{61})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{61})}{6}$

Schritt 1.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11 - \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $60$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.6.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{61}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{61})}{6}$

Schritt 1.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - (\sqrt{61})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{61})}{6}$

Schritt 1.2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11 + \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{11 - \sqrt{61}}{6}, - \frac{11 + \sqrt{61}}{6}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{11 - \sqrt{61}}{6}, 0), (- \frac{11 + \sqrt{61}}{6}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(0)}^{2} + 11 (0) + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{2} + 11 (0) + 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(0)}^{2} + 11 (0) + 5$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $3 {(0)}^{2} + 11 (0) + 5$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 3 \cdot 0 + 11 (0) + 5$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 + 11 (0) + 5$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{11 - \sqrt{61}}{6}, 0), (- \frac{11 + \sqrt{61}}{6}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4