Algebra Beispiele

${(r - 3 t)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(r)}^{4 - k} \cdot {(- 3 t)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(r)}^{4 - 0} \cdot {(- 3 t)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(r)}^{4 - 1} \cdot {(- 3 t)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(r)}^{4 - 2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(r)}^{4 - 3} \cdot {(- 3 t)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(r)}^{4 - 4} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(r)}^{4} \cdot {(- 3 t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(r)}^{4}$ mit $1$ .

${(r)}^{4} \cdot {(- 3 t)}^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- 3 t$ an.

$r^{4} \cdot ({(- 3)}^{0} t^{0}) + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 3)}^{0} r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $r^{4}$ mit $1$ .

$r^{4} t^{0} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$r^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $r^{4}$ mit $1$ .

$r^{4} + 4 \cdot {(r)}^{3} \cdot {(- 3 t)}^{1} + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$r^{4} + 4 r^{3} \cdot (- 3 t) + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{4} + 4 \cdot - 3 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 6 \cdot {(r)}^{2} \cdot {(- 3 t)}^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $- 3 t$ an.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 6 r^{2} \cdot ({(- 3)}^{2} t^{2}) + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 6 \cdot {(- 3)}^{2} r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 6 \cdot 9 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(r)}^{1} \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} + 4 \cdot r \cdot {(- 3 t)}^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.16

Wende die Produktregel auf $- 3 t$ an.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} + 4 r \cdot ({(- 3)}^{3} t^{3}) + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.17

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} + 4 \cdot {(- 3)}^{3} r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.18

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} + 4 \cdot - 27 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + 1 \cdot {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(r)}^{0}$ mit $1$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + {(r)}^{0} \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.21

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + 1 \cdot {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(- 3 t)}^{4}$ mit $1$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + {(- 3 t)}^{4}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $- 3 t$ an.

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + {(- 3)}^{4} t^{4}$

Schritt 4.24

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$r^{4} - 12 r^{3} t + 54 r^{2} t^{2} - 108 r t^{3} + 81 t^{4}$