Algebra Beispiele

$f (x) = - 8 x + 4$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - 8 x + 4$ als Gleichung.

$y = - 8 x + 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - 8 y + 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 y + 4 = x$ um.

$- 8 y + 4 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y = x - 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = x - 4$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = x - 4$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{x}{- 8} + \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{x}{- 8} + \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{- 8} + \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{- 4}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 8$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8$ heraus.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 8 x + 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 8 x + 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{- 8 x + 4}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8 x + 4$ und $8$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{4 (- 2 x) + 4}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{4 (- 2 x) + 4 (1)}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x) + 4 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{4 (- 2 x + 1)}{8} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{4 (- 2 x + 1)}{4 (2)} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{4 (- 2 x + 1)}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = - \frac{- 2 x + 1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{- (- 2 x + 1) + 1}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{2 x - 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 8 x + 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = - 8 (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = - 8 (- \frac{x}{8}) - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{8}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = - 8 \frac{- x}{8} - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = 8 (- 1) (\frac{- x}{8}) - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = 8 \cdot (- 1 \frac{- x}{8}) - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = - 1 (- x) - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = 1 x - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x - 8 (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x + 2 (- 4) (\frac{1}{2}) + 4$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2})) + 4$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x - 4 + 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 4 + 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{x}{8} + \frac{1}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 8 x + 4$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$