Algebra Beispiele

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 e^{- 4 y + 1} = x$ um.

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- 4 y + 1} = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- 4 y + 1} = x$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $e^{- 4 y + 1}$ durch $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{- 4 y + 1})$ durch Herausziehen von $- 4 y + 1$ aus dem Logarithmus.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4 y + 1$ mit $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 2.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.6.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.1.2

Dividiere $e^{- 4 x + 1}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 4 x + 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $- 4 x + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ als $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ um.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.3

Multipliziere $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.3.2

Vereinfache $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ an.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.3.3.5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.2.2

Vereinfache.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.3.5.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 4.3.3.5.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.3.5.3.2

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $\ln (\frac{x}{3})$ und $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Schritt 4.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$