Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = y + 1$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x - y = 1$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - y = 1 + x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - y = 1 + x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 1$ heraus.

$y (x - 1) = 1 + x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 1 + x$ durch $x - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 1) = 1 + x$ durch $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Schritt 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Schritt 5.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.7.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.8.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Schritt 5.2.8.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Schritt 5.2.8.5

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Schritt 5.2.8.6

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Schritt 5.2.8.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.6.3

Addiere $x + x$ und $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.6.4

Addiere $x$ und $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Schritt 5.3.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Schritt 5.3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Schritt 5.3.7.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Schritt 5.3.7.7

Addiere $0$ und $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$