Algebra Beispiele

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} - 4 a^{4}} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{2} - 4 a^{4}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1) - 4 a^{4}} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $- 4 a^{4}$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1) + 2 a^{2} (- 2 a^{2})} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{2} (1) + 2 a^{2} (- 2 a^{2})$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{8 a^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $8 a^{3}$ als ${(2 a)}^{3}$ um.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{{(2 a)}^{3} + 1}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{{(2 a)}^{3} + 1^{3}}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 a$ und $b = 1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (2^{2} a^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - (2 a) \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 2.4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a + 4 a^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a + 4 a^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1) + 4 a^{2}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 a$ aus $4 a^{2}$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1) + 2 a (2 a)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a (1) + 2 a (2 a)$ heraus.

$\frac{a^{4}}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2})} \cdot \frac{(2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 a (1 + 2 a)}$

Schritt 3.2

Kombinieren.

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{2} (1 - 2 a^{2}) (2 a (1 + 2 a))}$

Schritt 4

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (a \cdot a^{2}) (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (a^{1} a^{2}) (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{1 + 2} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{4}$ und $a^{3}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{4} ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))$ heraus.

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $2 a^{3} (1 - 2 a^{2}) (2 (1 + 2 a))$ heraus.

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{a^{3} ((2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a)))}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{3} (a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)))}{a^{3} ((2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a)))}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{(2 (1 - 2 a^{2})) (2 (1 + 2 a))}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 a + 1$ und $1 + 2 a$ .

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (1 - 2 a^{2}) (2 (2 a + 1))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1))}{2 (1 - 2 a^{2}) (2 (2 a + 1))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a (4 a^{2} - 2 a + 1)}{2 (1 - 2 a^{2}) \cdot (2)}$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{a (4 a^{2} - 2 a + 1)}{4 (1 - 2 a^{2})}$