Algebra Beispiele

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Schritt 1.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Schritt 1.2.3

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{12} (x - 2)$ nach $x$ gleich $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Schritt 1.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Schritt 1.2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ und $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $5$ und $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{π}{12}$ und $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $12$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.5

Kombiniere $\frac{π}{12}$ und $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 1.3.2.6

Addiere $0$ und $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{5 π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{5 π}{12}$ und $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.6

Da $- \frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Schritt 2.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $\frac{π}{12}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Schritt 2.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 2.5

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $5 π$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Schritt 5.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Schritt 5.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Schritt 5.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Schritt 5.1.3.2

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Schritt 5.4.5.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Schritt 5.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 5.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Schritt 5.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Schritt 5.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 5.6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 5.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.6.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 5.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 5.6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 2$

Schritt 5.6.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = 8$

Schritt 5.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.8.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 5.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Schritt 5.8.2.5.2

Addiere $9 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Schritt 5.8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 5.8.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 π$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Schritt 5.8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Schritt 5.8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.8.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Schritt 5.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Schritt 5.8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Schritt 5.8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 5$

Schritt 5.8.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = 20$

Schritt 5.9

Die Lösung der Gleichung $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $4$ aus $π (8)$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Schritt 7.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Schritt 7.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 7.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 7.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Schritt 7.2.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 8

$x = 8$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 8$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Schritt 9.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Schritt 9.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Schritt 9.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 9.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$f (8) = 3$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 20$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Faktorisiere $4$ aus $π (20)$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.2

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Schritt 11.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 11.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Schritt 11.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Schritt 11.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 11.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Schritt 11.2.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Schritt 11.2.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Schritt 11.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Schritt 11.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Schritt 11.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 11.4

Multipliziere $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 11.4.2

Mutltipliziere $\frac{5 π^{2}}{144}$ mit $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 12

$x = 20$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 20$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 20$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Schritt 13.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Schritt 13.2.1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Schritt 13.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Schritt 13.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 13.2.1.3

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Schritt 13.2.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Schritt 13.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 13.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 13.2.1.7

Multipliziere $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Schritt 13.2.1.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$y = - 7$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ ist ein lokales Maximum

$(20, - 7)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15