Algebra Beispiele

$\frac{x}{3 x^{2} - 11 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 42 = - 126$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 x$ heraus.

$\frac{x}{3 x^{2} - 11 (x) - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $7$ plus $- 18$

$\frac{x}{3 x^{2} + (7 - 18) x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3 x^{2} + 7 x - 18 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x}{(3 x^{2} + 7 x) - 18 x - 42} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x}{x (3 x + 7) - 6 (3 x + 7)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 7$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 x - 48}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ und deren Summe gleich $b = - 22$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 22$ aus $- 22 x$ heraus.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} - 22 (x) - 48}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 22$ um als $8$ plus $- 30$

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} + (8 - 30) x - 48}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{5 x^{2} + 8 x - 30 x - 48}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{(5 x^{2} + 8 x) - 30 x - 48}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{x (5 x + 8) - 6 (5 x + 8)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 8$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 3

Um $- \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)} \cdot \frac{5 x + 8}{5 x + 8} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(3 x + 7) (x - 6)}$ mit $\frac{5 x + 8}{5 x + 8}$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)} - \frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{9 x}{(5 x + 8) (x - 6)}$ mit $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 x + 7) (x - 6) (5 x + 8)$ um.

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(5 x + 8) (x - 6) (3 x + 7)$ um.

$\frac{x (5 x + 8)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)} - \frac{9 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (5 x + 8) - 9 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x + 8) - 9 x (3 x + 7)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x (3 x + 7)$ heraus.

$\frac{x (5 x + 8) + x (- 9 (3 x + 7))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x + 8) + x (- 9 (3 x + 7))$ heraus.

$\frac{x (5 x + 8 - 9 (3 x + 7))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (5 x + 8 - 9 (3 x) - 9 \cdot 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$\frac{x (5 x + 8 - 27 x - 9 \cdot 7)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$\frac{x (5 x + 8 - 27 x - 63)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $27 x$ von $5 x$ .

$\frac{x (- 22 x + 8 - 63)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $63$ von $8$ .

$\frac{x (- 22 x - 55)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $11$ aus $- 22 x - 55$ heraus.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $11$ aus $- 22 x$ heraus.

$\frac{x (11 (- 2 x) - 55)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $11$ aus $- 55$ heraus.

$\frac{x (11 (- 2 x) + 11 (- 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $11$ aus $11 (- 2 x) + 11 (- 5)$ heraus.

$\frac{x (11 (- 2 x - 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

$\frac{x \cdot 11 (- 2 x - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{11 \cdot x (- 2 x - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{11 x (- (2 x) - 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{11 x (- (2 x) - 1 (5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{11 x (- (2 x + 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Schreibe $- (2 x + 5)$ als $- 1 (2 x + 5)$ um.

$\frac{11 x (- 1 (2 x + 5))}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(11 x) (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$

Schritt 7.5.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(11 x) (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$ um.

$- \frac{11 x (2 x + 5)}{(3 x + 7) (5 x + 8) (x - 6)}$