Algebra Beispiele

$x^{4} - 50 x^{2} = - 49$

Schritt 1

Addiere $49$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 50 x^{2} + 49 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} + 49 = 0$

Schritt 3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 50 u + 49 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $u^{2} - 50 u + 49$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $49$ und deren Summe $- 50$ ist.

$- 49, - 1$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 49) (u - 1) = 0$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 49) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$(x^{2} - 7^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$(x + 7) (x - 7) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 7) (x - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 11

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 11.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 12

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 13

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 13.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 14

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 7) (x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 7, 7, - 1, 1$