Algebra Beispiele

${(3 p + 4 q)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 p)}^{3 - k} \cdot {(4 q)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 p)}^{3 - 0} \cdot {(4 q)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 p)}^{3 - 1} \cdot {(4 q)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 p)}^{3 - 2} \cdot {(4 q)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 p)}^{3 - 3} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(3 p)}^{3}$ mit $1$ .

${(3 p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 p$ an.

$3^{3} p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 p^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$27 p^{3} \cdot (4^{0} q^{0}) + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 \cdot 4^{0} p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 \cdot 1 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$27 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 p^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$27 p^{3} + 3 \cdot {(3 p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $3 p$ an.

$27 p^{3} + 3 \cdot (3^{2} p^{2}) \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.11

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.11.1

Bewege $3^{2}$ .

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 4.11.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 p^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 p^{3} + 3^{2 + 1} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.12

Vereinfache $3^{3} \cdot p^{2} \cdot {(4 q)}^{1}$ .

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot p^{2} \cdot (4 q) + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 p^{3} + 3^{3} \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 p^{3} + 27 \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot {(3 p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 3 \cdot (3 p) \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.18

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 p \cdot (4^{2} q^{2}) + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 4^{2} p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $4$ mit $2$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 9 \cdot 16 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere ${(3 p)}^{0}$ mit $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(3 p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.23

Wende die Produktregel auf $3 p$ an.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 3^{0} p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.24

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $p^{0}$ mit $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + p^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.26

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 1 \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere ${(4 q)}^{3}$ mit $1$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.28

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 4^{3} q^{3}$

Schritt 4.29

Potenziere $4$ mit $3$ .

$27 p^{3} + 108 p^{2} q + 144 p q^{2} + 64 q^{3}$