Algebra Beispiele

$f (x) = - (x + 9) (x - 21)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - (x + 9) (x - 21)$ als Gleichung.

$y = - (x + 9) (x - 21)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- (x + 9) (x - 21)$ an.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x - 1 \cdot 9) (x - 21)$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$(- x - 9) (x - 21)$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $(- x - 9) (x - 21)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x - 21) - 9 (x - 21)$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot - 21 - 9 (x - 21)$

Schritt 2.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot x - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Schritt 2.1.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} - x \cdot - 21 - 9 x - 9 \cdot - 21$

Schritt 2.1.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + 21 x - 9 x - 9 \cdot - 21$

Schritt 2.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 21$ .

$- x^{2} + 21 x - 9 x + 189$

Schritt 2.1.1.4.2

Subtrahiere $9 x$ von $21 x$ .

$- x^{2} + 12 x + 189$

Schritt 2.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 12$

$c = 189$

Schritt 2.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 6$

Schritt 2.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$d = - 6$

Schritt 2.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 189 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 189 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 189 - \frac{144}{- 4}$

Schritt 2.1.5.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 4$ .

$e = 189 - - 36$

Schritt 2.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 189 + 36$

Schritt 2.1.5.2.2

Addiere $189$ und $36$ .

$e = 225$

Schritt 2.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 6)}^{2} + 225$ ein.

$- {(x - 6)}^{2} + 225$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 6)}^{2} + 225$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 6$

$k = 225$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(6, 225)$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, \frac{899}{4})$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 6$

Schritt 9