Algebra Beispiele

$x^{2} \leq 4 x - 2$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 4 x \leq - 2$

Schritt 2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 4 x + 2 \leq 0$

Schritt 3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2 - \sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$

$x > 2 + \sqrt{2}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2 - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2 - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} \leq 4 (0) - 2$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(2)}^{2} \leq 4 (2) - 2$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $4$ ist kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2 + \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2 + \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} \leq 4 (6) - 2$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $36$ ist größer als die rechte Seite $22$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falsch

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falsch

$x < 2 - \sqrt{2}$ Falsch

$2 - \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}$ Wahr

$x > 2 + \sqrt{2}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 - \sqrt{2} \leq x \leq 2 + \sqrt{2}$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$

Schritt 14