Algebra Beispiele

$y + 2 x + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y + 3 = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - {(x + 2)}^{2} + 1 - 2 x - 3$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- {(x + 2)}^{2} - 2 x - 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$- ((x + 2) (x + 2)) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$- (x^{2} + 4 x + 4) - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4 - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- x^{2} - 4 x - 4 - 2 x - 2$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 4 x$ .

$- x^{2} - 6 x - 4 - 2$

Schritt 1.2.1.3

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$- x^{2} - 6 x - 6$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - 6$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$d = - - 3$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$d = 3$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 6 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = - 6 - - 9$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = - 6 + 9$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $- 6$ und $9$ .

$e = 3$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + 3)}^{2} + 3$ ein.

$- {(x + 3)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + 3)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 3$

$k = 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, 3)$

Schritt 4