Algebra Beispiele

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 n + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = n$ und $b = 1$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $n^{2} + 2 n - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{n + 3}{n + 3} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{n + 3}{n + 3} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)} \cdot \frac{n - 1}{n - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(n + 3) {(n - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}}$ mit $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)} \cdot \frac{n - 1}{n - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$ mit $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{(n - 1) (n + 3) (n - 1)}$

Schritt 4.3

Potenziere $n - 1$ mit $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1} (n - 1) (n + 3)}$

Schritt 4.4

Potenziere $n - 1$ mit $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1} {(n - 1)}^{1} (n + 3)}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1 + 1} (n + 3)}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 n (n + 3) + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 n \cdot n + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $n$ .

$\frac{5 (n \cdot n) + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$\frac{5 n^{2} + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 n + 2 \cdot - 1}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 n - 2}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Schritt 6.6

Addiere $15 n$ und $2 n$ .

$\frac{5 n^{2} + 17 n - 2}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$