Algebra Beispiele

$y = \ln (x)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \ln (y)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (y) = x$ um.

$\ln (y) = x$

Schritt 2.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (y) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung als $y = e^{x}$ um.

$y = e^{x}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \ln (x)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\ln (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (e^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Schritt 4.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Schritt 4.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{x}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x}$