Algebra Beispiele

$y = 2 x^{2} + 11 x + 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} + 11 x + 5$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 11$

$c = 5$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{11}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{11}{4}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{11^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{121}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{121}{8}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$e = 5 \cdot \frac{8}{8} - \frac{121}{8}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{5 \cdot 8}{8} - \frac{121}{8}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 \cdot 8 - 121}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$e = \frac{40 - 121}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $121$ von $40$ .

$e = \frac{- 81}{8}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{81}{8}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$ ein.

$2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x + \frac{11}{4})}^{2} - \frac{81}{8}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = - \frac{11}{4}$

$k = - \frac{81}{8}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{11}{4}, - \frac{81}{8})$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{11}{4}, - 10)$

Schritt 6