Algebra Beispiele

$12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ durch $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Dividiere $- 48$ durch $12$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} - 4$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{1}{12} \cdot ((x - 1) (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x + 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4 \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 48}{12}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $48$ von $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 47}{12}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = - \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{6} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $6$ aus $1 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{6}$ an.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{6}$ an.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{36}$ mit $1$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{36} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 (12)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1}{12}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 47 - 1}{12}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 47$ .

$e = \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 48$ durch $12$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$ ein.

$\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 3$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, - 1)$

Schritt 6