Algebra Beispiele

$y = 10 x - 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 10 y - 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $10 y - 2 = x$ um.

$10 y - 2 = x$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = x + 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x + 2$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x + 2$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{2}{10}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{2}{10}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{2}{10}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{x}{10} + \frac{2 (1)}{10}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{x}{10} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{10} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{1}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 x - 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 x - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{10 x - 2}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 x - 2$ und $10$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{2 (5 x) - 2}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{2 (5 x) + 2 (- 1)}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{2 (5 x - 1)}{10} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{2 (5 x - 1)}{2 (5)} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{2 (5 x - 1)}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{5 x - 1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x - 2) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 x - 2) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = 10 (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) - 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = 10 (\frac{x}{10}) + 10 (\frac{1}{5}) - 2$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = 10 (\frac{x}{10}) + 10 (\frac{1}{5}) - 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x + 10 (\frac{1}{5}) - 2$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x + 5 (2) (\frac{1}{5}) - 2$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x + 5 \cdot (2 (\frac{1}{5})) - 2$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x + 2 - 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{10} + \frac{1}{5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{1}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 x - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} + \frac{1}{5}$