Algebra Beispiele

$12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $12 y = {(x - 1)}^{2} - 48$ durch $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 y}{12} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.1

Dividiere $- 48$ durch $12$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{12} - 4$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{1}{12} \cdot ((x - 1) (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 4$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - x - x + 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{1}{12} \cdot (x^{2} - 2 x + 1) - 4$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{12} x^{2} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (- 2 x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 (- x)) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- x) + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot 1 - 4$

Schritt 1.2.1.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} - 4 \cdot \frac{12}{12}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 4 \cdot 12}{12}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{1 - 48}{12}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $48$ von $1$ .

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 47}{12}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = - \frac{47}{12}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Schritt 1.2.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Schritt 1.2.4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{6} (1 \cdot 6)$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Faktorisiere $6$ aus $1 \cdot 6$ heraus.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{6} (6 \cdot 1)$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{6}$ an.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{6}$ an.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{36}$ mit $1$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (\frac{1}{12})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{36} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 (12)} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{47}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} \cdot 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{47}{12} - \frac{1}{12}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 47 - 1}{12}$

Schritt 1.2.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 47$ .

$e = \frac{- 48}{12}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 48$ durch $12$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$ ein.

$\frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{12} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{12}$

$h = 1$

$k = - 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \cdot 3$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 7$

Schritt 6