Algebra Beispiele

$y = 4^{2 x + 9}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 4^{2 y + 9}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $4^{2 y + 9} = x$ um.

$4^{2 y + 9} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (4^{2 y + 9})$ durch Herausziehen von $2 y + 9$ aus dem Logarithmus.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Schritt 2.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $9 \ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Schritt 2.6.2

Addiere $\ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ durch $2 \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ durch $2 \ln (4)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 2.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 2.7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4^{2 x + 9}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Zerlege $\ln (4^{2 x + 9})$ durch Herausziehen von $2 x + 9$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Schritt 4.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 9 + 2 x + 9$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Vereinfache $2 \ln (4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Schritt 4.3.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Schritt 4.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Schritt 4.3.3.4

Multipliziere $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Schritt 4.3.3.4.2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $0$ und $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$