Algebra Beispiele

$f (x) = | x - 4 | + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = | x - 4 | + 1$ als Gleichung.

$y = | x - 4 | + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = | y - 4 | + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $| y - 4 | + 1 = x$ um.

$| y - 4 | + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| y - 4 | = x - 1$

Schritt 3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm (x - 1)$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 4 = x - 1$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = x - 1 + 4$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$y = x + 3$

Schritt 3.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 4 = - (x - 1)$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $- (x - 1)$ .

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Schritt 3.4.4.1

Forme um.

$y - 4 = 0 + 0 - (x - 1)$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 4 = - (x - 1)$

Schritt 3.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 4 = - x - - 1$

Schritt 3.4.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 4 = - x + 1$

Schritt 3.4.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.5.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + 1 + 4$

Schritt 3.4.5.2

Addiere $1$ und $4$ .

$y = - x + 5$

Schritt 3.4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = x + 3$

$y = - x + 5$

$y = x + 3$

$y = - x + 5$

$y = x + 3$

$y = - x + 5$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + 3, - x + 5$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x + 3, - x + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = | x - 4 | + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = | x - 4 | + 1$ und $f^{- 1} (x) = x + 3, - x + 5$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = | x - 4 | + 1$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x + 3$ .

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Schritt 5.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x + 3, - x + 5$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = | x - 4 | + 1$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x + 3, - x + 5$ keine inverse Funktion von $f (x) = | x - 4 | + 1$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6