Algebra Beispiele

$y = 3 x^{3} - 5$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 y^{3} - 5$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 y^{3} - 5 = x$ um.

$3 y^{3} - 5 = x$

Schritt 2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{3} = x + 5$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{3} = x + 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{3} = x + 5$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{3}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{3}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 2.5.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.5.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.5.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Schritt 2.5.5.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$

Schritt 2.5.6.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 9}}{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 x^{3} - 5$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 x^{3} - 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 ((3 x^{3} - 5) + 5)}}{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 (3 x^{3} + 0)}}{3}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $3 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot (3 x^{3})}}{3}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{27 x^{3}}}{3}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $27 x^{3}$ als ${(3 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}}{3}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 x^{3} - 5) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 {(\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3})}^{3} - 5$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9 (x + 5)}}^{3}$ als $9 (x + 5)$ um.

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 (x + 5)}$ als ${(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{({(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{{(9 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.1.5

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 45}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere $9$ aus $9 x + 45$ heraus.

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Schritt 4.3.3.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x) + 45}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.4.2

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 x + 9 \cdot 5}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.2.4.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x + 9 \cdot 5$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3^{3}}) - 5$

Schritt 4.3.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{27}) - 5$

Schritt 4.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 (9)}) - 5$

Schritt 4.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = 3 (\frac{9 (x + 5)}{3 \cdot 9}) - 5$

Schritt 4.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = \frac{9 (x + 5)}{9} - 5$

Schritt 4.3.3.5.2

Dividiere $x + 5$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 5 - 5$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 5 - 5$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{9 (x + 5)}}{3}$