Algebra Beispiele

${(p + 4 q)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(p)}^{3 - k} \cdot {(4 q)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(p)}^{3 - 0} \cdot {(4 q)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(p)}^{3 - 1} \cdot {(4 q)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(p)}^{3 - 2} \cdot {(4 q)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(p)}^{3 - 3} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(p)}^{3}$ mit $1$ .

${(p)}^{3} \cdot {(4 q)}^{0} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$p^{3} \cdot (4^{0} q^{0}) + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4^{0} p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $p^{3}$ mit $1$ .

$p^{3} q^{0} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$p^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $p^{3}$ mit $1$ .

$p^{3} + 3 \cdot {(p)}^{2} \cdot {(4 q)}^{1} + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$p^{3} + 3 p^{2} \cdot (4 q) + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{3} + 3 \cdot 4 p^{2} q + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 3 \cdot {(p)}^{1} \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$p^{3} + 12 p^{2} q + 3 \cdot p \cdot {(4 q)}^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.12

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$p^{3} + 12 p^{2} q + 3 p \cdot (4^{2} q^{2}) + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{3} + 12 p^{2} q + 3 \cdot 4^{2} p q^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.14

Potenziere $4$ mit $2$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 3 \cdot 16 p q^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + 1 \cdot {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(p)}^{0}$ mit $1$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + {(p)}^{0} \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + 1 \cdot {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(4 q)}^{3}$ mit $1$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + {(4 q)}^{3}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $4 q$ an.

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + 4^{3} q^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $4$ mit $3$ .

$p^{3} + 12 p^{2} q + 48 p q^{2} + 64 q^{3}$