Algebra Beispiele

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ als Gleichung.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ um.

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ durch $50000$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ durch $50000$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50000$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere ${0.8}^{y}$ durch $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln ({0.8}^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ durch $\ln (0.8)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ durch $\ln (0.8)$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (0.8)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50000$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere ${(0.8)}^{x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln ({(0.8)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (0.8)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Schritt 5.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50000$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$