Algebra Beispiele

$y + 7.5 = 2 {(x + 2.5)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 2.5)}^{2}$ als $(x + 2.5) (x + 2.5)$ um.

$2 ((x + 2.5) (x + 2.5)) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 2.5) (x + 2.5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x (x + 2.5) + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $2.5$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (x^{2} + 2.5 \cdot x + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2.5$ mit $2.5$ .

$2 (x^{2} + 2.5 x + 2.5 x + 6.25) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $2.5 x$ und $2.5 x$ .

$2 (x^{2} + 5 x + 6.25) - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $6.25$ .

$2 x^{2} + 10 x + 12.5 - 7.5$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $7.5$ von $12.5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 5$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 10$

$c = 5$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $5$ als $1 (5)$ um.

$d = \frac{1 (5)}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{8}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $8$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$e = 5 - \frac{4 (25)}{8}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 5 - \frac{25}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 25}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{10 - 25}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Subtrahiere $25$ von $10$ .

$e = \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.6.1

Schreibe $- 15$ als $1 (- 15)$ um.

$e = \frac{1 (- 15)}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.6.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.2.5.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{15}{2}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$ ein.

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{15}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{15}{2})$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{61}{8}$

Schritt 6