Algebra Beispiele

$y = e^{x + 3} - 4$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{y + 3} - 4$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{y + 3} - 4 = x$ um.

$e^{y + 3} - 4 = x$

Schritt 2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y + 3} = x + 4$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y + 3}) = \ln (x + 4)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{y + 3})$ durch Herausziehen von $y + 3$ aus dem Logarithmus.

$(y + 3) \ln (e) = \ln (x + 4)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y + 3) \cdot 1 = \ln (x + 4)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $y + 3$ mit $1$ .

$y + 3 = \ln (x + 4)$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (x + 4) - 3$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{x + 3} - 4$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{x + 3} - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln ((e^{x + 3} - 4) + 4) - 3$ .

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3} + 0) - 3$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $e^{x + 3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = \ln (e^{x + 3}) - 3$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 3$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \ln (e) - 3$

Schritt 4.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = (x + 3) \cdot 1 - 3$

Schritt 4.2.4.3

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 3} - 4) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\ln (x + 4) - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{(\ln (x + 4) - 3) + 3} - 4$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4) + 0} - 4$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\ln (x + 4)$ und $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = e^{\ln (x + 4)} - 4$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 4 - 4$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 4.3.5.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\ln (x + 4) - 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{x + 3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 4) - 3$