Algebra Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 9$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 4 x^{2} + 12 x - 9$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x^{2} + 12 x - 9 = 0$ um.

$- 4 x^{2} + 12 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2} + 12 x - 9$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) + 12 x - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (- 12 x) - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$- (4 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (- 12 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 12 x) - 1 (9)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 12 x + 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$- ({(2 x)}^{2} - 12 x + 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- ({(2 x)}^{2} - 12 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 3$

Schritt 1.2.2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 x - 3)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(2 x - 3)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(2 x - 3)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(2 x - 3)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere ${(2 x - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(2 x - 3)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(2 x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 4 {(0)}^{2} + 12 (0) - 9$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 4 \cdot 0^{2} + 12 (0) - 9$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 4 {(0)}^{2} + 12 (0) - 9$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 4 {(0)}^{2} + 12 (0) - 9$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 4 \cdot 0 + 12 (0) - 9$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0 + 12 (0) - 9$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 9$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 9$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = - 9$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Schritt 4