Algebra Beispiele

$x^{2} + 3 x < 28$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 3 x = 28$

Schritt 2

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $3$ ist.

$- 4, 7$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 7) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 7$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 10)}^{2} + 3 (- 10) < 28$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $70$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 3 (0) < 28$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} + 3 (6) < 28$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $54$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $28$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x < 4$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 7, 4)$

Schritt 12