Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{4} x^{3} - 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{4} y^{3} - 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$ um.

$\frac{1}{4} y^{3} - 2 = x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{4} - 2 = x$

Schritt 2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{3}}{4} = x + 2$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{3}}{4} = 4 (x + 2)$

Schritt 2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 4 (x + 2)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $4 (x + 2)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 4 x + 4 \cdot 2$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y^{3} = 4 x + 8$

Schritt 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{4 x + 8}$

Schritt 2.7

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 8$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{4 (x) + 8}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \sqrt[3]{4 x + 4 \cdot 2}$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 ((\frac{1}{4} x^{3} - 2) + 2)}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} - 2 + 2)}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + 0)}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $\frac{x^{3}}{4}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4})}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{3}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x^{3}}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{4 x^{3}}{4}}$

Schritt 4.2.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 4.2.6.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 4.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{1}{4} x^{3} - 2) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{4 (x + 2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(\sqrt[3]{4 (x + 2)})}^{3} - 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 (x + 2)}}^{3}$ als $4 (x + 2)$ um.

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Schritt 4.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 (x + 2)}$ als ${(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {({(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 2$

Schritt 4.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 2$

Schritt 4.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Schritt 4.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot {(4 (x + 2))}^{\frac{3}{3}} - 2$

Schritt 4.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Schritt 4.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = \frac{1}{4} \cdot (4 (x + 2)) - 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 2 - 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{4 (x + 2)}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{4 (x + 2)}$