Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ um.

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y + 2} = 5 x$

Schritt 2.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Schritt 2.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.5.1

Zerlege $\ln (e^{y + 2})$ durch Herausziehen von $y + 2$ aus dem Logarithmus.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Schritt 2.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $y + 2$ mit $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Schritt 2.6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (5 x) - 2$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Schritt 4.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Schritt 4.2.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x + 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Schritt 4.2.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Schritt 4.2.3.5

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\ln (5 x) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\ln (5 x)$ und $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Schritt 4.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 4.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$