Algebra Beispiele

$y = - 2 x^{2} + 9 x + 18$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 2 x^{2} + 9 x + 18$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} + 9 x + 18 = 0$ um.

$- 2 x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} + 9 x + 18$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- (2 x^{2}) + 9 x + 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x$ heraus.

$- (2 x^{2}) - (- 9 x) + 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$- (2 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (- 9 x)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - 9 x) - 1 (- 18)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 9 x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$- (2 x^{2} - 9 x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $3$ plus $- 12$

$- (2 x^{2} + (3 - 12) x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x^{2} + 3 x - 12 x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 x^{2} + 3 x) - 12 x - 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (2 x + 3) - 6 (2 x + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 3$ .

$- ((2 x + 3) (x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 x + 3) (x - 6) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 x + 3) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{2}, 6$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3}{2}, 0), (6, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 18$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 9 (0) + 18$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 18$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 18$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 2 \cdot 0 + 9 (0) + 18$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 9 (0) + 18$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 18$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 18$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $18$ .

$y = 18$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 18)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3}{2}, 0), (6, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 18)$

Schritt 4