Algebra Beispiele

$y = 6 x^{2} - 7 x - 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 6 x^{2} - 7 x - 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $6 x^{2} - 7 x - 5 = 0$ um.

$6 x^{2} - 7 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 5 = - 30$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$6 x^{2} - 7 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $3$ plus $- 10$

$6 x^{2} + (3 - 10) x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 3 x - 10 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 3 x) - 10 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (3 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{5}{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 6 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 6 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 - 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 6 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 5$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $6 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 5$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 6 \cdot 0 - 7 \cdot 0 - 5$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$y = 0 - 7 \cdot 0 - 5$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 5$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 5$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$y = - 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{1}{2}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 5)$

Schritt 4