Algebra Beispiele

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y - 36 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} - 36 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 18}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $- 18$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $1296$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ ein.

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Schritt 1.3

Setze $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ für $9 x^{2} - 36 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Schritt 1.4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 24 y = 36 + 36$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 y^{2} + 24 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 24$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{24}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (- 4)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{12}{- 4}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $- 4$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{4 (3)}{- 4}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $36$ .

$e = 36$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ ein.

$- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$

Schritt 1.6

Setze $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ für $- 4 y^{2} + 24 y$ ein in der Gleichung $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

Schritt 1.7

Bringe $36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

Schritt 1.8

Vereinfache $36 + 36 - 36$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $36$ und $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 72 - 36$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $36$ von $72$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 + 3$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 3 + 3$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{3 x}{2} - 3 + 3$ .

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $\frac{3 x}{2}$ und $0$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 + 3$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Schritt 6.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Schritt 6.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 + 3$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 + 3$

Schritt 6.2.1.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 + 3$

Schritt 6.2.2

Addiere $3$ und $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{3 x}{2}$ und $y = - \frac{3 x}{2} + 6$ .

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Schritt 9