Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 3}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4 x - 3}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{4 x - 3}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4 y - 3}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 y - 3}{7} = x$ um.

$\frac{4 y - 3}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{4 y - 3}{7} \cdot 7 = x \cdot 7$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y - 3}{7} \cdot 7 = x \cdot 7$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 3 = x \cdot 7$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 y - 3 = 7 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 7 x + 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 7 x + 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 7 x + 3$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4 x - 3}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{7 (\frac{4 x - 3}{7})}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{7 (\frac{4 x - 3}{7}) + 3}{4}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{7 (\frac{4 x - 3}{7}) + 3}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 3 + 3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x - 3}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{4 (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) - 3}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{4 (\frac{7 x}{4}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{4 (\frac{7 x}{4}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x + 4 (\frac{3}{4}) - 3}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x + 4 (\frac{3}{4}) - 3}{7}$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x + 3 - 3}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4 x - 3}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{4} + \frac{3}{4}$