Algebra Beispiele

$y = 2 \sqrt[5]{x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sqrt[5]{y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt[5]{y} = x$ um.

$2 \sqrt[5]{y} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt[5]{y} = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt[5]{y} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt[5]{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt[5]{y}$ durch $1$ .

$\sqrt[5]{y} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{y}}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{y}$ als $y^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{2})}^{5}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{2})}^{5}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$y = \frac{x^{5}}{2^{5}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{x^{5}}{32}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{{(2 \sqrt[5]{x})}^{5}}{32}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[5]{x}$ an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{2^{5} {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {\sqrt[5]{x}}^{5}}{32}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 4.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{32}$

Schritt 4.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{32}$

Schritt 4.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Schritt 4.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x^{\frac{5}{5}}}{32}$

Schritt 4.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Schritt 4.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = \frac{32 x}{32}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[5]{x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{5}}{32})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Schritt 4.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $32$ als $2^{5}$ um.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2^{5}}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $\frac{x^{5}}{2^{5}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{5}$ um.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 \sqrt[5]{{(\frac{x}{2})}^{5}}$

Schritt 4.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{5}}{32}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sqrt[5]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{5}}{32}$