Algebra Beispiele

$y = - x^{2} + 4 x + 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 4 x + 8$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 8$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 8 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 8 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 8 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 8 - - 4$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 8 + 4$

Schritt 1.1.4.2.2

Addiere $8$ und $4$ .

$e = 12$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 2)}^{2} + 12$ ein.

$- {(x - 2)}^{2} + 12$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 12$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 12$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 12)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{47}{4})$

Schritt 6