Algebra Beispiele

$y = - 2 x^{2} + 11 x + 8$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 2 x^{2} + 11 x + 8$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} + 11 x + 8 = 0$ um.

$- 2 x^{2} + 11 x + 8 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = 11$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 8)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 2 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 64}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.1.3

Addiere $121$ und $64$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 2 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 64}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.5.1.3

Addiere $121$ und $64$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{11 + \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 2 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 8$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 64}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $121$ und $64$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 11 \pm \sqrt{185}}{- 4}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{11 - \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11 + \sqrt{185}}{4}, \frac{11 - \sqrt{185}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{11 + \sqrt{185}}{4}, 0), (\frac{11 - \sqrt{185}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 11 (0) + 8$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 11 (0) + 8$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 11 (0) + 8$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $- 2 {(0)}^{2} + 11 (0) + 8$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 2 \cdot 0 + 11 (0) + 8$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 11 (0) + 8$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 8$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 8$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$y = 8$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{11 + \sqrt{185}}{4}, 0), (\frac{11 - \sqrt{185}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 8)$

Schritt 4