Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \div (2 x^{2} + 2 x)$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1}}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und $x + 1$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x^{2} + 2 x}$

Schritt 6

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x) + 2 x (1)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (1)$ heraus.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x (x + 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $2 x (x + 1)$ heraus.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (2 x)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (2 x)}$

Schritt 9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{1}{2 \cdot (x - 1) x}$

Schritt 10

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{2 (x - 1) x}$ um.

$\frac{1}{2 x (x - 1)}$