Algebra Beispiele

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $20$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

Schritt 4.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 + 5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $4$ und $5$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 3)$

Schritt 5.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 3)$

Schritt 5.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(0, 3), (0, - 3)$

Schritt 6