Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3}{5} x + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{5} x + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{5} y + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{5} y + 6 = x$ um.

$\frac{3}{5} y + 6 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $y$ .

$\frac{3 y}{5} + 6 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y}{5} = x - 6$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3 y}{5} = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5}{3} (x - 6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} (x - 6)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 (- 2))$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Schritt 3.5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x}{3} + 5 \cdot - 2$

Schritt 3.5.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{3} - 10$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (\frac{3}{5} x + 6)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (\frac{3 x}{5} + 6)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{5} + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 6)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5}) + 3 \cdot 2)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x}{5} + 3 \cdot 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 (3 (\frac{x}{5} + 2))}{3} - 10$

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{5 \cdot (3 (\frac{x}{5} + 2))}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + 2)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x + 2 \cdot 5}{5})}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{15 (\frac{x + 10}{5})}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $15$ und $\frac{x + 10}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{15 (x + 10)}{5}}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{15 (x + 10)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $15 (x + 10)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5}}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5 (1)}}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{5 (3 (x + 10))}{5 \cdot 1}}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{\frac{3 (x + 10)}{1}}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $3 (x + 10)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{3 (x + 10)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = \frac{3 (x + 10)}{3} - 10$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $x + 10$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x + 10 - 10$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 10 - 10$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{5} x + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x}{3} - 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{5 x}{3} - 10) + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5 x}{3} + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x)) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = \frac{1}{5} \cdot (5 x) + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot - 10 + 6$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 (- 2)) + 6$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + \frac{3}{5} \cdot (5 \cdot - 2) + 6$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + 3 \cdot - 2 + 6$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x}{3} - 10) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{5} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3} - 10$